αυτοσυζυγής τελεστής

Ένας τελεστής Α λέγεται α. ή ερμιτιανός, αν για κάθε διάνυσμα Ψ το βαθμωτό γινόμενο (Ψ, ΑΨ) είναι αριθμός πραγματικός, δηλαδή αν (Ψ, ΑΨ) = (ΑΨ, Ψ) (Ι). Οι τελεστές που αντιπροσωπεύουν στην κβαντομηχανική παρατηρήσιμα μεγέθη πρέπει να είναι αναγκαστικά ερμιτιανοί γιατί το βαθμωτό γινόμενο (Ψ, ΑΨ) παριστάνει την αναμενόμενη τιμή του παρατηρήσιμου μεγέθους Α για ένα σύστημα στην κατάσταση Ψ. Εφόσον η εξίσωση (Ι) ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα Ψ, ας υποθέσουμε ότι Ψ = c₁x₁ + c₂x₂, όπου c₁ και c₂ τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί και x₁, x₂ τυχαία διανύσματα. Τότε (Ψ, ΑΨ) = |c₁|2 (x₁Ax₁) + |c₂|2 (x₂, Αx₂) + {c₁ (x₂, Αx₁) + c₂ (x₁Ax₂) όπου 1, 2 οι συζυγείς μιγαδικοί των, και η παράσταση του δευτέρου μέλους είναι πραγματική για όλες τις τιμές των c₁, c₂, τότε και μόνο τότε, αν (Χ₂, ΑΧ₁) = (ΑΧ₂, X₁) (II). Η εξίσωση (II) δείχνει μια πολύ σπουδαία ιδιότητα ενός αυτελεστή και μπορεί να θεωρηθεί και ως ορισμός του. Παραδείγματα α.τ. είναι οι συντεταγμένες θέσης και ορμής και ο τελεστής χαμιλτονιανή Η, που για κάθε σύστημα καθορίζει τη χρονική εξάρτηση του συστήματος με τη βοήθεια της χρονικά εξαρτημένης εξίσωσης του Σρέντινγκερ: με την προϋπόθεση ότι το σύστημα δεν διαταράσσεται.